C program for Newton's Backward interpolation

For interpolating the value of the function y = f (x) near the end of table of values, and to extrapolate the value of the function a short distance forward from yn , Newton’s backward interpolation formula is used

Backward Differences:

The differences y1 – y0, y2 – y1, ……, yn – yn–1 are called first backward difference.

Thus Let us first construct the backward difference table for the given data:

Backward difference table 

NEWTON’S GREGORY BACKWARD INTERPOLATION FORMULA :

Example: What will be the population in 1925 as per following data table.

X (Year)	1891	1901	1911	1921	1931
Y(Population)	46	66	81	93	101

Solution:

              f(1925)=?

Backward difference table 

here 

hence 

f(1925)=

101 +(-0.6)(8)+ [(-0.6)(0.4)(-4)]/!2 + [(-0.6)(0.4)(1.4)(-1)]/!3 +[(-0.6)(0.4)(1.4)(2.4)(-3)]/!4 

=101-4.8+[(0.96)/2]+[(0.336)/6]+[(2.4192)/24]

=101-4.8+0.48+0.056+0.1008

=96.8368

C Program:

#include<stdio.h>

int fact(int);

void main()

{

int n,i,j,ch=30;

float arr[10][11],px=1,x,y,p,h;

printf("\nEnter the no of data:");

scanf("%d",&n);

printf("\nEnter the data:");

for(i=0;i<n;i++)

{

printf("\nX%d=",i+1);

scanf("%f",&arr[i][0]);

printf("\nY%d=",i+1);

scanf("%f",&arr[i][1]);

}

//forming the difference table

for(j=2;j<=n;j++)

{for(i=0;i<n-1;i++)

arr[i][j]=arr[i+1][j-1]-arr[i][j-1];

}

//printing table

printf("\nThe difference table");

printf("\n\tX \tY");

for(i=0;i<n-1;i++)

printf("\t%c^%d",ch,i+1);

for(i=0;i<n;i++)

{printf("\n");

for(j=0;j<n+1-i;j++)

printf("\t%.4f",arr[i][j]);

}

printf("\nEnter the value of x for f(x)");

scanf("%f",&x);

//calculate the value of f(x) for x

h=arr[n-1][0]-arr[n-2][0];

p=(x-arr[n-1][0])/h;

y=arr[n-1][1];

for(i=1;i<n;i++)

{

px=px*(p+(i-1));

y=y+(arr[n-1-i][i+1]*px)/fact(i);

}

printf("\nthe value of f(x) at x=%f is %f",x,y);

}

int fact(int n)

{ int f=1,i;

for(i=1;i<=n;i++)

f=f*i;

return f;

}

Output:

Enter the no of data:5                                                                                                                 

Enter the data:                                                                           

X1=1891                                                                                     

Y1=46                                                                                                                              

X2=1901                                                                                   

Y2=66                                                                                                                                              

X3=1911                                                                                   

Y3=81                                                                                                                 

X4=1921                                                                                  

Y4=93                                                                                                                          

X5=1931                                                                                     

Y5=101         

The difference table                                                                                                             

        X                       Y          ^1           ^2        ^3           ^4                                                                              

        1891.0000       46.0000 20.0000 -5.0000 2.0000  -3.0000                                                                  

        1901.0000       66.0000 15.0000 -3.0000 -1.0000                                                                          

        1911.0000       81.0000 12.0000 -4.0000                                                                                  

        1921.0000       93.0000 8.0000                                                                                           

        1931.0000       101.0000                                                                                                 

Enter the value of x for f(x) 1925                                                                                                                            

the value of f(x) at x=1925.000000 is 96.836800